Koumej dál Pythagorovu větu

BADATELSKÉ KOUMIO - řešení

Skončí Eda jako vítěz, nebo jako placka?

Je pátek večer a za 12 hodin začne na hřišti trénink fotbalistů.

Dva hlemýždi se vsadí, kdo první dorazí k houbě na druhé straně hřiště. Oba umí pelášit rychlostí 10 m/h.

Ota jede na jistotu – obchází hřiště po stranách.

Eda bere zkratku – leze přímo přes hřiště. Ale jestli to nestihne do ranního tréninku...

Ota jde po stranách

Obejde dvě strany hřiště.

Vzdálenost:
65 + 100 = 165 m

Čas, který potřebuje k obejití hřiště, když peláší rychlostí 10 m/h.
165 ÷ 10 = 16,5 hodiny

Ota to nestihne.

Eda jde přes hřiště

Leze přímo úhlopříčkou, přeponou pravoúhlého trojúhelníku..

Použijeme Pythagorovu větu:

Délka přepony c = √(65² + 100²)

65² = 4 225
100² = 10 000

Součet = 14 225

√14 225 ≈ 119,3 m

Čas:
119,3 ÷ 10 ≈ 11,9 hodiny

Eda dorazí za méně než 12 hodin.

Kdo vyhrál?

Eda skončil jako vítěz!
A právě díky Pythagorově větě jsme to dokázali spočítat.

KOUMEJ DÁL

1. Ukaž na koumadle tři čtverce – jeden velký a dva menší.

2. Prozkoumej trojúhelník. Všimni si popisů jeho stran: přepona c, odvěsna a, odvěsna b. Které dvě strany svírají pravý úhel?

3. Naskládej všechny červené dílky do plochy největšího čtverce, nebo

4. naskládej všechny červené dílky do ploch dvou menších čtverců.

5. Koumej, co nám 3 čtverce prozradí o pravoúhlém trojúhelníku.

CO JSI ZJISTIL/A

Nejprve trojúhelník

Trojúhelník uprostřed je pravoúhlý. To znamená, že jeden jeho úhel má přesně 90°.

Strany mají jména:

a – odvěsna
b – odvěsna
c – přepona

Přepona je vždy strana naproti pravému úhlu. A je vždy nejdelší.

Zamysli se: Může mít pravoúhlý trojúhelník zároveň tupý úhel? Nemůže – protože už jeden úhel má 90°.

Teď čtverce

Nad každou stranou trojúhelníku je postavený čtverec.

Nad stranou a je čtverec s obsahem a²
Nad stranou b je čtverec s obsahem b²
Nad stranou c je čtverec s obsahem c²

A teď přijde objev. Když složíš červené dílky:

buď zaplní jeden velký čtverec
nebo dohromady zaplní oba menší.

Obsah velkého čtverce je úplně stejný jako součet obsahů těch dvou menších. To je Pythagorova věta:

a² + b² = c²

Platí pro každý pravoúhlý trojúhelník. Stejně jako Pythagoras jsi zjistil/a, že u pravoúhlého trojúhelníku mají čtverce nad kratšími stranami (odvěsnami) dohromady stejnou plochu jako čtverec nad nejdelší stranou (přeponou).

Matematický zápis Pythagorova objevu je:

c² = a² + b²

Co sis právě objevil/a?

Obsah čtverce nad přeponou je stejný jako součet obsahů čtverců nad odvěsnami.
Pythagorova věta pomáhá počítat skutečné vzdálenosti.

Tohle je matematika, která funguje v reálném světě.

K čemu je to dobré?

Když znáš délky dvou stran, dokážeš spočítat tu třetí. Používá se to:

při stavění domů
při měření vzdáleností
v architektuře